概要

情報技術の基礎として理解しておきたい応用数学のうち、統計分析、相関と因果、数値計算、グラフ理論、待ち行列理論を整理する。

応用数学は、データ分析、性能評価、ネットワーク構造の理解など、情報処理の多くの分野につながる。
公式を暗記するだけでなく、「何を分析したいのか」「どの指標で判断するのか」を意識すると理解しやすい。

この記事の構成

• 統計分析
  正規分布：最も一般的な確率分布で身長、座高など身近な分布に多く見られる。
• 相関関係と因果関係
  相関関係と因果関係を整理し、要素同士がどう結び付くかを確認。
• 数値計算
  数値計算の意味と要点を具体例から整理。
• グラフ理論
  グラフ理論：ノード（接点、頂点）とエッジ（枝、辺）の集合から構成されるデータ構造についての理論。
• 待ち行列理論
  待ち行列理論：列に並ぶ平均時間を統計学的な計算で求めるための理論。
• 待ち時間の計算
  待ち時間の計算の意味と要点を具体例から整理。

統計分析

• 正規分布
  最も一般的な確率分布で身長、座高など身近な分布に多く見られる。
  その分布表現は、以下の確率密度関数として定義される。

  平均値：\(μ\) 、標準偏差：\(σ\) と置くと

  \[ f(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2} {2\sigma^2} \right) \]

  この標準偏差 \(σ\) の分布比率は以下の通り。

  • \(\pm 1σ\) で \(68%\)
  • \(\pm 2σ\) で \(95%\)
  • \(\pm 3σ\) で \(99.7%\)

  以下、統計分析の種類。

• 回帰分析
  関数モデルを使用した分析で変数が \(1\) つなら単回帰分析、複数なら重回帰分析という。

• 主成分分析
  変数が多い場合、より少ない指標や合成変数に要約する分析手法。

• 因子分析
  観測結果に影響する潜在要因（因子）を分析する手法。

• 相関分析
  二つの変数（データ分布）がどの程度直線的な関係にあるかを数値化して分析する手法。

  この数値を相関係数という。
  → データ分布が右上がりの直線に近い程 \(1\) に近づく。
  → データ分布が右下がりの直線に近い程 \(-1\) に近づく。
  → データ分布の直線的な関係が弱いほど \(0\) に近づく。

相関関係と因果関係

• 相関関係
  二つの事象が互いに関連している関係のこと。

• 因果関係
  二つの事象の一方が原因となって別の事象が発生していること。
  → 相関係数の絶対値が \(1\) に近いほど、二つの変数の直線的な関係は強い。
  ただし、相関係数の絶対値が大きくても、因果関係があるとは限らない。因果関係を判断するには、ランダム化比較実験などによる別途の検証が必要。

• 疑似相関
  一見相関関係または、因果関係が認められる事象でも、直接的な関連性がなく結果のみ相関していること。

  例 : 子供の体重が重い程、算数ができるという相関関係の場合
  → 体重が重くなった原因に「年齢が上がる = 学年が上がる」という相関関係が隠れているため、体重と算数の出来に直接的な関連はなくこの場合、疑似相関となる。

数値計算

• スカラ
  \(0\) 次元で表現できるデータ。
  → 大きさだけを持つ単一の値。値が固定されているという意味ではない。

• ベクトル
  \(1\) 次元で表現できるデータ。
  → \(1\) 次元配列等の一列で表現できるデータのこと。

• 行列
  \(2\) 次元で表現できるデータ。
  → \(2\) 次元配列等の縦、横など二種類の軸（行列）があるデータのこと。

• テンソル
  スカラ、ベクトル、行列を一般化した多次元の量。
  → 文脈によって階数の数え方は異なるが、3次元配列だけに限定されない。

グラフ理論

• グラフ理論
  ノード（接点、頂点）とエッジ（枝、辺）の集合から構成されるデータ構造についての理論。

• グラフの方向性
  有向グラフは、ノード \(A\) → ノード \(B\) のように一方のみに方向性を持つ。
  無向グラフは、ノード \(A\) とノード \(B\) を結ぶ辺に向きがない。

• 木構造
  木構造（単に木とも呼ばれる）は、閉路を持たない連結グラフである。根付き木では、ルート（根）、ノード（頂点）、親子を結ぶエッジ（辺）、子を持たないリーフ（葉）として整理する。

待ち行列理論

• 待ち行列理論
  列に並ぶ平均時間を統計学的な計算で求めるための理論。
  → 以下、\(3\) 要素が列に並ぶ時の待ち時間に影響を与え、待ち行列のモデルとなる。
  

  • 到着率：来客頻度。
    
  • サービス時間：対応時間。
    
  • 窓口数：\(1\) 列あたりの窓口数。

• \(M/M/1\) モデル
  Kendallの記法で、最初の \(M\) は到着間隔が記憶性を持たない分布（到着はポアソン過程）、次の \(M\) はサービス時間が指数分布、最後の \(1\) は窓口が一つであることを表す。\(D\) は一定時間を表す記号であり、窓口数の記号ではない。

待ち時間の計算

• \(M/M/1\) モデルの平均待ち時間
  定常状態の \(M/M/1\) モデルで、利用率 \(0 \le ρ \lt 1\) の場合、平均待ち時間は次の式で表現できる。\(ρ \ge 1\) では到着を処理しきれず、定常的な平均待ち時間は定まらない。

  平均待ち時間：\(s1\)
  平均サービス時間：\(s2\)
  利用率：\(ρ\) と置くと

  \[ s1 = \frac{ρ}{1 - ρ} \times s2\hspace{5mm}･･･（＊） \]

  ※ 利用率\(ρ\)は、平均サービス時間／平均到着間隔で表現できる。

  また、平均応答時間は、平均待ち時間（\(s1\) モデル）と平均サービス時間（\(s2\) モデル）を合わせた時間となり、上記（＊4）より、次の式で表現できる。
  → 平均応答時間 \(= s1+ s2\)
  \(\displaystyle = \frac{ρ}{1 - ρ} \times s2 + s2\)
  \(\displaystyle = ( \frac{ρ}{1 - ρ} + 1 ) s2\)
  \(\displaystyle = \frac{1}{1 - ρ} \times s2\)

まとめ

• 統計分析では、分布でデータのばらつきを捉え、相関分析で変数同士の関係、回帰分析で説明変数と目的変数の関係を扱う。
• 相関係数の絶対値が大きくても、二つの変数に因果関係があるとは限らない。説明変数が一つなら単回帰、複数なら重回帰となる。
• スカラは単一の値、ベクトルは一次元、行列は二次元、テンソルはそれらを一般化した多次元のデータとして整理できる。
• 木は閉路を持たないグラフの一種で、グラフ理論はネットワークや木構造の理解に使われる。
• 待ち行列では利用率が1に近づくほど待ち時間が急増しやすく、システムの性能評価に関係する。

参考文献

• 瀬戸 美月（\(2020\)）『徹底攻略 応用情報技術者教科書』株式会社インプレス
• 総務省統計局 Data StaRt - 相関と回帰（日本語・相関係数の公的解説）
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods - Scatter Plot（英語・散布図の公的解説）