概要
「なぜ \(0\) による除算が定義できないのか」を除算を乗算の式へ戻す流れから整理して説明する。
\(0\) による除算は、答えが無限大になるから定義できないわけではない。
乗算の式へ戻すと、商の条件を満たす値が存在しない場合と、無数に存在する場合に分かれる。
いずれの場合も商が一意に定まらないため、\(0\) による除算は定義できない。
ここでは \(6 \div 2\)、\(6 \div 0\)、\(0 \div 0\) を具体例とし、通常の除算である \(6 \div 2\) を乗算の式へ戻し、商が \(3\) に一意に定まることを確認する。
次に、\(6 \div 0\) には商が存在しないこと、\(0 \div 0\) では商が一意に定まらないことを確認する。
上記三つの具体例を比較した後、割られる数を実数 \(a\) として一般化し、数学的に証明する。
最後に \(0\) による除算と、除数を \(0\) に近づけたときの極限（\(\pm\infty\)）との違いを確認する。
この記事の構成
- 通常の除算から除算の定義を確認
\(6 \div 2\) を乗算の式へ戻し、商が一意に定まる仕組みと除算の定義を確認。 - \(0\) で除算できない理由を具体例で確認
\(6 \div 0\) と \(0 \div 0\) を除算の定義に当てはめ、商が存在しない場合と一意に定まらない場合を確認。 - 商を比較して \(0\) 除算が定義できない理由を整理
三つの具体例について商の数を図で比較し、\(0\) による除算を定義できない理由を確認。 - 一般化して確認
割られる数を実数 \(a\) とし、\(a=0\) とそれ以外に場合分けして商の決まり方を確認。 - 数学的な証明
\(a=0\) では商が一意に定まらず、それ以外では商が存在しないことを証明。 - \(0\) による除算と極限の違い
除数が実際に \(0\) である除算と、\(0\) ではない除数を \(0\) に近づける極限を区別。
通常の除算から除算の定義を確認
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\(6 \div 2\) の商が一意に定まることを確認
まず、通常どおり計算できる \(6 \div 2\) を考え、商を \(x\) と置く。\[ {\small 6 \div 2=x } \]割る数が \(0\) でないとき、除算と乗算は互いに逆の演算であり、商に割る数を掛けると割られる数に戻る。
この関係を利用して、上の方程式の両辺に割る数の \(2\) を掛ける。\[ {\small (6 \div 2) \times 2=x \times 2 } \]左辺は、\(6\) を \(2\) で割ってから \(2\) を掛けるため、元の \(6\) に戻る。
よって、\(6=x \times 2\) となり、さらに乗法の交換法則により \(x \times 2\) を \(2 \times x\) とし、方程式の左辺と右辺を入れ替えると\[ {\small 2 \times x=6 } \]となる。
このように、\(6 \div 2\) は、\(2 \times x=6\) を満たす \(x\) を求める計算として捉えられる。
この方程式を満たす実数は \(x=3\) だけなので、\(6 \div 2\) の商は \(3\) に一意に定まる。
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除算の定義を確認
上記の具体例の通り、\(6 \div 2=3\) となるのは、\(2 \times 3=6\) が成り立つためである。この関係を一般化すると、除算は次のように定義できる。
\(\boldsymbol{a \div b=x}\) とは、 \(\boldsymbol{b \times x=a}\) を満たす \(\boldsymbol{x}\) が一意に定まることである。
\(0\) で除算できない理由を具体例で確認
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\(6 \div 0\) に商が存在しないことを確認
仮に \(6 \div 0\) の商 \(x\) が存在すると、上記の除算の定義により、次を満たす必要がある。\[ {\small 0 \times x=6 } \]しかし、\(0\) にどのような実数 \(x\) を掛けても結果は \(0\) であり、\(6\) にはならないため成り立たない。
したがって、\(6 \div 0\) には商が存在しない。
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\(0 \div 0\) の商が一意に定まらないことを確認
仮に \(0 \div 0\) の商 \(x\) が存在すると、上記の除算の定義により、次を満たす必要がある。\[ {\small 0 \times x=0 } \]この方程式は、\(x=1\)（正の数）、\(x=-5\)（負の数）、\(x=0.333\ldots\)（無限小数）、\(x=\sqrt{2}\)（無理数）など、すべての実数を解にもつ。
つまり、すべての実数が商の候補となり、商が一意に定まらない。
商を比較して \(0\) 除算が定義できない理由を整理
上記の通り、通常の除算 \(6 \div 2\) では、商が \(3\) に一意に定まる。
一方、\(6 \div 0\) では商が存在せず、\(0 \div 0\) ではすべての実数が商の候補となる。
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\(0\) 除算が定義できない理由を整理
\(6 \div 0\) と \(0 \div 0\) の \(0\) を除数とした具体例は、いずれも除算の定義にある商が一意に定まるという条件に反するため、\(0\) による除算は定義できない。
一般化して確認
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\(0\) 除算が定義できない理由を一般化
上記の具体例における割られる数の \(6\) と \(0\) を、任意の実数 \(a\) に置き換えて一般化する。\(a\) を任意の実数とし、\(a \div 0\) の商 \(x\) が存在すると仮定する。
除算の定義より、商 \(x\) は次の方程式を満たし、かつ一意に定まる必要がある。
\[ {\small 0 \times x=a \hspace{5mm}･･･（＊） } \]このとき、任意の実数 \(x\) に対して、左辺の \(0 \times x\) は必ず \(0\) となる。
したがって、方程式\(（＊）\)が成り立つかどうかは、右辺の \(a\) が \(0\) かどうかで決まる。
そこで、実数 \(a\) について \(a=0\) の場合と、それ以外（\(a \neq 0\)）の場合に分けて商の決まり方を確認する。
- \(a=0\) の場合
方程式\(（＊）\)に \(a=0\) を代入した \(0 \times x=0\) は、すべての実数を解にもつ。
よって、商は一意に定まらない。 - \(a \neq 0\) の場合
どの実数 \(x\) を代入しても \(0 \times x=0 \neq a\) となり、方程式\(（＊）\)は成り立たない。
よって、商は存在しない。
\(a=0\) では商が一意に定まらず、\(a \neq 0\) では商が存在しない。
いずれも除算の定義にある商が一意に定まるという条件を満たさないため、任意の実数 \(a\) に対して \(a \div 0\) は定義できない。
- \(a=0\) の場合
数学的な証明
前項と同様の流れになるが、一般化して確認した関係を証明として改めて整理する。
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\(0\) 除算が定義できない理由を証明
任意の実数 \(a\) に対して、\(a \div 0\) を実数の除算として定義できないことを証明する。仮に \(a \div 0\) の商 \(x\) が存在するとする。
除算の定義より、商 \(x\) は次の方程式を満たし、かつ一意に定まる必要がある。
\[ {\small 0 \times x=a \hspace{5mm}･･･（＊） } \]このとき、任意の実数 \(x\) に対して、左辺の \(0 \times x\) は必ず \(0\) となる。
したがって、方程式\(（＊）\)が成り立つかどうかは、右辺の \(a\) が \(0\) かどうかで決まる。
そこで、実数 \(a\) について \(a=0\) の場合と、それ以外（\(a \neq 0\)）の場合に分けて商の決まり方を確認する。
- \(a=0\) の場合
商が一意に定まらないことを示すため、方程式\(（＊）\)を \(a=0\) とした \(0 \times x=0\) を満たす異なる二つの実数として、\(x=0\) と \(x=1\) を確認する。
\(x\) 代入後、\(0 \times 0=0\)、\(0 \times 1=0\) となり等式が成り立つ。
よって、少なくとも異なる二つの実数が方程式を満たすため、商は一意に定まらない。 - \(a \neq 0\) の場合
方程式\(（＊）\)の左辺は、任意の実数 \(x\) に対して \(0 \times x=0\) となる。
右辺の \(a\) は \(0\) ではないため、方程式\(（＊）\)を満たす実数 \(x\) は存在せず、商も存在しない。
\(a=0\) では商が一意に定まらず、それ以外では商が存在しない。
よって、いずれも除算の定義にある商が一意に定まるという条件を満たさないため、任意の実数 \(a\) に対して \(a \div 0\) は定義できない。 - \(a=0\) の場合
\(0\) による除算と極限の違い
ここでは、\(0\) による除算と、除数を \(0\) に近づける極限が異なることを確認する。
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\(1 \div 0\) は無限大ではない
上記で示したとおり、\(1 \div 0=x\) と仮定すると、商 \(x\) は次の方程式を満たす必要がある。\[ {\small 0 \times x=1 } \]しかし、この方程式を満たす実数 \(x\) は存在しない。
したがって、\(1 \div 0\) は定義できないため、正または負の無限大（\(\pm\infty\)）にならない。 -
除数を \(0\) に近づける極限は、\(\pm\infty\) への発散の様子を示している
\(0\) より大きい除数を \(0.1\)、\(0.01\)、\(0.001\) と \(0\) に近づけると、次のように商は大きくなる。\[ {\small \dfrac{1}{0.1}=10,\quad \dfrac{1}{0.01}=100,\quad \dfrac{1}{0.001}=1000 } \]この変化を極限では次のように表す。
\[ {\small \lim_{t \to 0^{+}} \dfrac{1}{t}=+\infty } \]反対に、\(0\) より小さい除数を \(-0.1\)、\(-0.01\)、\(-0.001\) と \(0\) に近づけると、次のように商は小さくなる。
\[ {\small \dfrac{1}{-0.1}=-10,\quad \dfrac{1}{-0.01}=-100,\quad \dfrac{1}{-0.001}=-1000 } \]この変化は次のように表す。
\[ {\small \lim_{t \to 0^{-}} \dfrac{1}{t}=-\infty } \]記号 \(\lim\) は \(\mathrm{limit}\)（極限）の略である。
\(t \to 0^{+}\) は \(t\) を \(0\) より大きい側から \(0\) に近づけること、\(t \to 0^{-}\) は \(0\) より小さい側から近づけることを表す。どちらの場合も、除数 \(t\) は限りなく \(0\) に近づいているだけで、決して \(0\) にはならない。
つまり、これらの極限は \(0\) で除算した結果ではなく、除数を限りなく \(0\) に近づけたときの \(1/t\) の変化の様子（正または負の無限大へ発散）を表している。
まとめ
- 除算 \(a \div 0=x\) を定義するには、\(0 \times x=a\) を満たす商 \(x\) がただ一つ存在する必要がある。
- \(a \neq 0\) では条件を満たす商が存在せず、\(a=0\) ではすべての実数が商の候補となる。
- \(0\) 除算は、商が一意に定まらないため定義できない。
- 除数を \(0\) に近づける極限では、除数は実際には \(0\) にならず、\(1/t\) が \(+\infty\) または \(-\infty\) へ発散する様子を表すため、\(0\) による除算とは異なる。